Ejercicios de ecuaciones diferenciales

1.- En cada uno de los siguientes ejercicios, elimínese las constantes arbitrarias.

a) x =A sen (αt+β );α un parámetro que no debe ser eliminado

α= ctte fija
A= ctte arbitraria

dx=Acos(αt+β)α dt

dx/dt=x/(sen(αt+β)) cos(αt+β)α

dx/dt=xα/(tan(αt+β)) tan(αt+β)=xα/x'

* αt=〖tan〗^(-1)=(xα/x^' )

* α=(xα/x')^'/(1+(xα/x')^2 )=((x^'.αx^'.xαx')/〖(x')〗^2 )/(((x^' )^2+x^2 α^2)/(x^' )^2 )

α〖(x')〗^2+x^2 α^2=α〖(x')〗^2-αx^'' x

xα^2+x^''=0 ECUACION DIFERENCIAL//

b) y= c1 e2x cos3x c2 e2xsen3x

Ya que el producto de 2 constantes es otra constante, entonces se puede asumir que C1 y C2=C

∴y=C e^4x.cos3x.sen3x //


c) y= c1 x2 c2 e2x

De la misma forma, como el ejercicio anterior, el producto de 2 constantes es otra constantes asi que:

∴y=C〖 x〗^2 〖 e〗^2x



2.- Obténgase la solución general en cada ecuación diferencial.

a) ( y + 1) dx = 2xy dy

dx/x=2y/((y+1)) dy

∫▒〖(dx/x)=∫▒〖2y/(y+1) dy〗〗

Ln(x)=∫▒〖2y/(y+1) dy〗

2y/(y+1)=2-(2/(y+1))

Entonces:

Ln(x)=∫▒〖(2 dy)-((2 dy)/(y+1)) 〗

Ln(x)=2y-2Ln(y+1)+k
Ln(x)=2y+Ln[(y+1)-2]+k
x= e2y. [(y+1)-2].ex

x=C.[e^2y/(y+1)^2 ] //


b) x cos2 y dx + tan y dy = 0

x〖cos〗^2 y dx=-(sen y)/(cos y) dy

x dx=-(sen y)/cos⁡y .〖cos〗^2 y dy

Integrando el 1er. Miembro= x^2/2

Integrando el 2do. Miembro =-(sen y)/cos⁡y .1/cos⁡y dy (**)

* u= cos y; du= -sen y dy

* Reemplazando dy = - du/(sen y)

Reemplazando en (**)

∫▒〖1/u^2 du= -u^(-1)+k〗

u= cosy (-1)/cos⁡y +k (***)

∴ x^2/2=-1/cos⁡y +k

x^2/2+1/cos⁡y =k //

c) (1+ ln x) dx + (1+ ln y)dy = 0

lnt+[(1+ln y)] dy= -lnt(1+lnx)dx
x+lnt[lny] dy= -y+ln[ln x]dx
lnt[ln u]=lnt[1. Ln(u)] du

lnt(1/u)=lnt(1/u) du



3.- En los ejercicios, obténgase la solución particular que satisfaga las condiciones a la frontera indicadas.

a) 2xyy' =1+ y2 ; cuando x = 2, y = 3

2xy(dy/dx)=1+y^2

2xy dy=(1+y^2 )dx

(2y/(1+y^2 ))dy=dx/x

ln⁡〖(1+y^2 )-ln⁡(x)=C〗
C=ln⁡(1+(3)^2-ln⁡(2))
C= ln(10)-ln(2) //

b) y ' = x exp( y - x2 ); cuando x = 0, y = 0

dy/dx=x exp⁡(y-x^2 )

x= 0
y=0

dy/dx=0 exp⁡(0-0^2 ) //

c) xy2 dx + ex dy =0; cuando x ∞,y 1/2

xy^2 dx= -e^(x ) dy
- (xy^2)/e^x =dy/dx
y^'=-(xy^2)/e^x

y^'=-(∞〖(1/2)〗^2)/e^∞ //